陶哲轩实分析-自然数
从自然数开始，走入数学殿堂的一角。
大多数人或许已经学习了自然数的概念，更是对其加减乘除等运算方式熟稔于心，难免疑惑：自然数还需要介绍吗？其实，大部分人对自然数的理解只停留在“使用”阶段，却几乎没有深入研究过它的本质结构和各种性质的由来，我们似乎认为1+1=2是天生而来的理念，认为a+b=b+a（加法交换律）是无法再简化的定律。但实际是，这些所有的更上层的结论可以由更下层结论经过推导得出。我们大部分的数学学习都建立在一定的前提条件之下，而这些前提条件，若没有追根究底的劲头，是很难发现它的存在的。我们总会想，在某个地方成立的定律或规则，为什么在另一个地方却不再适用，明明他们看起来是如此相似。许多类似的疑问萦绕心头，长此以往，便觉得这门学科是如此神秘与难以理解，从而怀疑自身的智力水平，产生挫败，这也是大部分人无法学习好数学的原因之一。
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无论是学习数学还是其他的科学理论，追根溯源的心态和严谨的逻辑思维是必要的，这种思维方式不仅对于学习各种知识技能受益颇深，更对于个人三观的建立有良好的引领作用，对于个人生活理念和人生价值的实现有着难以估量的作用。
自然数系作为基础的知识，也作为许多研究情况下的前提条件，深入理解其内在对于建立牢固的数学基础是大有裨益的。那么现在请先忘记关于自然数的一切，忘记那些四则运算法则，这或许是困难且看起来非必要的，但从最基础的开始可以避免循环论证，从而得到真正可靠的结论，这也是对逻辑思维的再次锤炼。
构建自然数系有多种方式，现在我们使用其中的一种：Peano（皮亚诺）公理。列出皮亚诺公理如下：
是一个自然数。
2. 若n是一个自然数，则n++（++代表这个数的后继者）也是一个自然数。
3. 0不是任何自然数的后继。即对任何自然数n，都有n++≠0。
4. 不同的自然数必有不同的后继者。即是说，对于任何自然数n和m，若n≠m，则必然有n++≠m++。反之，若n++＝m++，则必然有n＝m。
5. （数学归纳原理）设P(n)是关于自然数的一个性质，若P(0)为真，假设当P(n)为真时，考察若P(n++)也为真，则说明对于任意自然数n，P(n)均成立。
我们可以说，自然数即是满足这五条公理的数。换言之，只要满足上述五条公理，那么我们可以将其称之为自然数。
或许有人会疑惑，为什么会凭空出现这五条公理？难道我们的数学定义是没有逻辑可循的吗？对于我们而言，无需在意皮亚诺公理是从何而来，又或者为什么是五条而不是四条或六条。事实上，在没有皮亚诺公理之前，自然数已在人类历史上应用了几千年，但是公理化构造自然数的方式无疑让自然数从代表着某种实际意义的一般的事物中变得抽象起来，他只是在这些公理之下满足着一系列性质，而这些性质才是我们研究的重点。
需要明确的是，数学研究的核心是在某个模型之下的一系列性质，而非是该模型是否完全“正确”。正如我们无需关心皮亚诺公理是否能“正确”定义自然数，因为事实上，没有什么人或事物能告诉我们自然数究竟是“什么”，他只是我们一厢情愿创造的词语，至于它的语义，也是人类赋予它的。小学时，我们学习到自然数是{0，1，2，3，......}这样一组数，便在我们脑海中形成深刻印象，认为这便是自然数。然而对于严谨的数学研究而言，这种定义显然是不足的，我们如何比较这组数的大小呢，如何保证3≠0或3≠2呢，如何使得他们做各种代数运算呢。由于我们一直受这些非严格定义的影响，导致对于自然数以及其他各种概念的认知时常处于混沌之中，哪怕我们自己，也很难告诉别人自然数究竟是什么。但是如今，为了严谨的逻辑推导，我们可以忘记曾经的所学，从最基础的公理出发，研究在某个公理体系下的各种数的性质。当然，如果你乐意，也可以不将其称为自然数，你可以仅仅把它当作皮亚诺公理下的数的性质的研究，又有何不可呢？
闲话少说，皮亚诺公理可以让我们得到自然数的什么性质呢？首先，证明3≠0和3≠2这样的命题将变得容易，下面简单展示几个相关的证明。
下面看一个稍难一些的递归定义证明。
有些人可能无法理解递归定义的相关叙述，实际上，递归定义的核心是：一个自然数，通过f这个映射，能得到一个唯一的自然数，而不是多个自然数。也即是说，通过一个确定的自然数n，我们能得到一个唯一确定的自然数an。而证明递归定义的核心是：运用构造自然数的皮亚诺公理证明他在自然数系中是可行的。
或许曾经我们早已认识过相似的递归定义，但以前是直接给出这个定义，便默认其是可行的，并没有考虑过在其他数系下是否可行。现在可以确定的是，至少在一个“循环数系”中，例如“3=0”这样的数系中，递归定义是不可用的。因为从一个确定的自然数n，我们无法得到一个唯一的自然数an。理解此处递归定义的核心，对于我们更清晰地认识自然数以及相关的命题是有帮助的。
话不多说，现给出自然数的加法定义：
注：（x:=y表示命题x定义为等于y）。
有了加法定义之后，便可以证明几个重要的引理和命题。
接下来，我们可以轻松地得到加法的交换律、结合律和消去律。
很久以前我们便学习过“自然数之和仍然等于自然数”这样的命题，但只是把它当作定理使用，可能并未想过他可以这样证明而得。如今，这一切你都可以轻松做到，也应能理解，这些类似的定理都是有理可依的，并非凭空得来的结论。理解了这种思维方式，只给出几个简单公理和定义，你便能构建起整个大厦之基，真正地掌握这些几乎最原始的东西，感受到数学的奥秘之一。
现定义正自然数如下：
有了这个定义，我们可以推出一些相关结论。
有了加法的概念后，我们可以开始定义序的概念。
于是，我们可以容易地得到以下关于自然数序的基本性质。
在证明这些性质之前，首先需要明确的是，“a当且仅当b”意味着什么？细致分析不难得出，这句话可以直接从字面理解，意思是“只有当b成立时a才成立”。即是说，当b成立时，a也成立；当a成立时，b也必然成立。当我们想要定义某东西时，常常使用这样的词汇，以表明a与b之间的特殊对应关系。“a当且仅当b”也意味着a和b是互为充要条件的关系。特别需要注意的是，虽然“a当且仅当b”可以推出“a与b互为充要条件”，但“a与b互为充要条件”是否可推出“a当且仅当b”呢？事实上，通过细致分析，当a成立可推出b成立时，意味着a成立时“非b”（即b的否命题）不可能成立，即是说除了b之外的命题不可能成立，这是因为，对于一个命题而言，只存在“是”和“否”两种状态。需要明确的是，在逻辑语义上，此处的“仅当”针对的仅仅是命题b的真假性，而非是与命题b无关的第三者的命题c。即是说，“a当且仅当b”的含义是只有当b成立时a才成立，“非b”成立时a必然不成立，至于命题c能否推出命题a，并不影响“当且仅当”的判断，因为独立的命题c的真假性不影响命题b的真假性。因此，“a与b互为充要条件”可推出“a当且仅当b”，可以认为，这两者是等价的。
若是不加注意这样一个小小词汇的含义，可能会像笔者证明性质（a）时那样，使用错误的证明思路。
现证明命题中所有性质如下：
现在我们已经知道一些自然数的序的性质，接下来再证明一个重要且常见的性质：序的三岐性。
作为拓展，下面展示强归纳法和逆向归纳法的证明。
关键词：
